C언어 수치계산 수치적분 (구분구적법, 사다리꼴, 심슨 공식)

📣 목표 : f(x) = -x^2 + 2x 를 구간 [0.0, 2.0]에서 적분하기

 

サイエンス社의 数値計算入門［C言語版］이라는 책을 교과서로 쓰고 있는데

아니 이럴 수가 있나 싶을 정도로 코드가 엉망진창.. 실행은 시켜 보고 책에 담은건지?

여튼 第10章의 알고리즘만 참고해서 아래 코드는 전부 제가 작성했습니다.

 

💡 구분구적법

수학시간에 배운 구간을 네모네모로 쪼개서 적분에 근사하는 그거입니다.

 

rectangle 과 rectangle2 함수가 구분구적법을 구현한 것으로 각각 식 10.1과 10.2에 대응합니다.

(왼쪽) 식 10.2 (오른쪽) 식 10.1

식 10.1 과 10.2의 차이는 사각형의 높이를 오른쪽 끝점(우단형)에 맞췄냐 왼쪽 끝점에 맞췄냐(좌단형)하는 차이입니다.

 

💡 사다리꼴 공식

이번엔 사각형이 아니고 사다리꼴 모양으로 잘라서 적분한다고 생각하면 됩니다.

사다리꼴은 (윗변+아랫변)*높이/2로 구하죠?

식 10.3과 10.4가 그걸 표현한겁니다. xj - xj-1은 결국은 높이를 나타내기 때문에 10.3을 10.4로 바꿔쓴 거에요.

사다리꼴 공식에 따른 적분을 구하는 알고리즘은 다음과 같습니다.

 

1. n, a, b, f 를 입력

2. h = (b-a)/n, S=0;

3. j=1,2,...,n-1에 대해서 S = S+f(a+jh)

4. S = (f(a)+2S+f(b))h/2

 

프로그램 안에선 trapezoidal이라는 함수로 구현했습니다.

 

💡 심슨 공식

 

이거는 저도 제대로 이해 안하고 그냥 알고리즘만 보고 만들었기 때문에..흠흠

결과는 정상적으로 출력되는 거 확인했습니다. 프로그램 내의 simpson 함수에 해당합니다.

 

1. n, a, b, f 입력

2. h = (b-a)/2n, S1 = 0, S2 = f(a+h)

3. j = 2,4,...,2n-2 에 대해서

S1 = S1 + f(a+jh), S2 = S2 + f(a+(j+1)h)

4. S = (f(a)+2S1 + 4S2 + f(b))h/3

 

 

🚩 출력 결과

rectangle S =   1.320000
rectangle2 S =   1.320000
Trapezoidal rule S =   1.320000
Simpson's rule S =   1.333333